Função contínua se, e somente se, cada coordenada é contínua
Proposição
Seja \(f:X\rightarrow \underset{\alpha \in A}{\Pi}X_\alpha\) uma função. Então \(f\) é contínua se, e somente se, \(\pi_\alpha \circ f\) é contínua para cada \(\alpha \in A\). Em outras palavras, se \(f(x)=(f_\alpha(x))_{\alpha \in A}\) para cada \(x\in X\), então \(f\) é contínua se, e somente se cada \(f_\alpha\) é contínua.
Prova: Se \(f\) é contínua, então cada \(\pi_\alpha \circ f\) é contínua por ser composta de contínuas. Suponha agora que cada \(\pi_\alpha \circ f\) é contínua. Seja \(V=\underset{\alpha \in A}{\Pi}V_\alpha\) um aberto básico (ver Topologia Produto: Definição Geral), e \(F=\{\alpha \in A: V_\alpha \neq X_\alpha\}\) o suporte (finito) de \(V\). Temos:
\(f^{-1}(V)=f^{-1}\left ( \underset{\alpha \in F}{\bigcap}\pi^{-1}_\alpha(V_\alpha) \right )=\underset{\alpha \in F}{\bigcap}(\pi_\alpha \circ f)^{-1}(V_\alpha)\)
Então \(f^{-1}(V)\) é um conjunto aberto.