Extensão a partir de sequências convergentes
Lema
Seja $(X,d)$ espaço métrico e $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma sequência convergente de elementos de $X$ com $\lim_{n\to \infty} x_n=x\in X$. Então $S=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}\cup \{x\}$ é fechado em $X$.
Prova: Sejam $p\in X\setminus S$ e $\varepsilon=d(x,p)/2>0$; então existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $$d(x_n,p)<\varepsilon \ \forall n>n_0$$ e pela desigualdade triangular $$d(x_n,p)\ge d(x,p)-d(x_n,x)>d(x,p)-\varepsilon =d(x,p)/2$$ Se definirmos $r=\min \{d(x,p),d(x_1,p),\dots,d(x_{n_0},p)\}/2$, temos $$d(y,p)\ge r \ \forall y\in S$$ donde $$B_r(p)\subset X\setminus S$$ e portanto $X\setminus S$ é aberto. $\blacksquare$
Exercício 2.2.14
Seja Sejam $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ e $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sequências convergentes de números reais com $x_n\to x,\ y_n\to y,\ x_n\neq x$ para todo $n$ e $x_m\neq x_n$ se $m\neq n$. Mostre que existe $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ contínua tal que $f(x)=y$ e $f(x_n)=y_n$ para todo $n\in \mathbb{N}$.
Solução: Considere o espaço dos números reais com a topologia usual e $S$ como no lema anterior. Defina
$$g:S\rightarrow \mathbb{R}$$
$$x_n\mapsto y_n$$
$$x\mapsto y$$
Temos $g$ contínua (aqui, usaremos a definição de continuidade para espaços métricos, mas você pode verificar que ela é equivalente à noção topológica na topologia induzida); de fato, dado $p\in S$:
Se $p\neq x$, seja $\delta:=|p-x|/2$; então existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $|x_n-x|<\delta$ para todo $n>n_0$. Então $|x_n-p|\ge |x-p|-|x_n-x|>\delta$ para todo $n> n_0$; se $\delta':=\min \{|x_n-p|:n\le n_0,\ x_n\neq p\}$ e $\delta_0=\min\{\delta,\delta'\}$, temos $(p-\delta_0,p+\delta_0)\cap S=\{p\}$, donde $g\left((p-\delta_0,p+\delta_0)\cap S\right)=\{g(p)\}\subset \left(g(p)-\varepsilon,g(p)+\varepsilon\right)$ para todo $\varepsilon>0$.
Se $p=x$, dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ com $|y_n-y|<\varepsilon$ para todo $n>n_0$. Se $\delta:=\min \{|x_1-p|,\dots,|x_{n_0}-p|\}$, então $(p-\delta,p+\delta)\cap S\subset \{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\Rightarrow g\left((p-\delta,p+\delta)\cap S\right)\subset g\left(\{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\right)=\{y,y_{n_0+1},y_{n_0+2},\dots\}\\ \subset (y-\varepsilon,y+\varepsilon)=\left(g(p)-\varepsilon,g(p)+\varepsilon \right)$.
Como $S$ é fechado, $g$ é contínua e $\mathbb{R}$ é $T_4$ (pois é espaço métrico), pelo Teorema de Tietze existe extensão contínua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ de $g$. $_{\blacksquare}$