Funções contínuas
Exemplos e Propriedades
Há alguns exemplos e propriedades na seção 'Intuição e Definição' de função contínua. Eles seriam parte dessa seção, mas já foram colocados na seção anterior. Aqui, trataremos de outras propriedades.
A proposição a seguir mostra que densos são “empurrados” por funções contínuas:
Proposição
Sejam $(X, \tau)$, $(Y, \rho)$ espaços topológicos e $f: X \rightarrow Y$ uma função contínua sobrejetora. Se $D \subset X$ é denso em $X$, então $f[D]$ é denso em $Y$.
A forma mais fácil de demonstrar essa proposição é mostrando que $f[D]$ intercepta todo aberto não vazio.
Dem. Seja $A \neq \emptyset$ aberto em $Y$. Note que $f^{-1}[A] \neq \emptyset$, pois $f$ é sobrejetora e $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. Logo, existe $d \in D$ tal que $d \in f^{-1}[A]$, ou seja, $d \in D \cap f^{-1}[A]$, o que significa que $f(d) \in A$. Portanto, $f(x) \in f [D] \cap A$, como queríamos.
Perceba que é necessário utilizar o fato de que $f$ é sobrejetora para garantir que $f^{-1}[A] \neq \emptyset$. Do contrário, $f^{-1}[A]$ poderia ser vazio.