Proposição: Todo aberto da forma $U_{f}$ é denso

Demosntração: Notemos que $\overline{U_{f}} = \underset{g \in V(U_{f}))}{\bigcap} Z(g)$. Notemos que $\overline{U_{f}} = k^{n} \iff$ qualquer polinômio que se anula em $U_{f}$ se anula em $k^{n}$. Mas notemos que como $k$ é infinito, temos que $U_{f}$ é infinito. De fato, notemos que $f(x_{1},0,\ldots,0) = 0$, possui apenas finitas soluções, logo, $(k \setminus V(f)) \times \{ 0 \}^{n - 1}$ é infinito e está contido em $U_{f}$. Agora vamos mostrar que todo polinômio que zera em $U_{f}$ zera em $k^{n}$. Seja $g \in V(U_{f})$, assim $g$ se anula somente quando $f$ não se anula. Agora consideremos o produto $gf(x) = g(x)f(x)$, notemos que tal produto é identicamente zero em $k^{n}$, mas como $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ é um domínio, devemos ter que $f(x) \equiv 0$ ou $g(x) \equiv 0$, como já temos que $f$ é não nulo em $U_{f}$ devemos ter que $g(x) \equiv 0$, mostrando então que todo polinômio que zera em $U_{f}$ zera em $k^{n}$ e portanto todo aberto da forma $U_{f}$ é denso.