Exercício 3.3.14. O espaço do ventilador tem sequências convergentes não triviais?

Sim, a ideia é tomar uma sequência que está totalmente contida em uma das hélices.
Para isso, seja \(F = (X/ \sim, \sigma)\), sendo \(\sigma\) a topologia quociente, o espaço do ventilador, e tome a sequência \({(x_n)}_{n \in \mathbb{N}} \in F \), dada por \(x_n = (m_0,\frac{1}{n})\) sendo \(m_0 \in \mathbb{R}\) fixado.
Seja \(n,k \in \mathbb{N} \ tq \ n \neq k\), e tome \((m_0,\frac{1}{n}), (m_0,\frac{1}{k})\), representante das classes de \(x_n,x_k\) respectivamente, note que, \(\frac{1}{n} \neq \frac{1}{k}\), e com isso \((m_0,\frac{1}{n}) \neq (m_0,\frac{1}{k})\), logo \(x_n \neq x_k\), portanto temos que a sequência é não trivial, provemos que \({(x_n)}_n \to x = (m_0,0) \in F\).
Seja \(V \in \sigma\), tal que \(x \in V\), por definição temos que dada \( \pi: (X, \tau) \to (X/\sim, \sigma) \), que leva \(x\) em sua classe de equivalência, temos que \(\pi^{-1}(x) \in \pi^{-1}[V] \in \tau \), como \(\tau\) é a topologia de \(\mathbb{R}^2\), temos que \(\pi^{-1}[V] = I_1\times I_2\), sendo \(I_1 \) e \(I_2\) abertos em \(\mathbb{R}\), note que como \(x = (m_0,0)\) é um representante da seguinte classe \([\{y: y = (m,0), \forall\ \ m \in \mathbb{R}\}]\), temos, \(\pi^{-1}[x] = y = (m,0) \in \pi^{-1}[V] = I_1\times I_2 \Leftrightarrow I_1 = \mathbb{R}\), pois \(m\) varia em todo \(\mathbb{R}\), além disso note que \(0 \in I_2 \Rightarrow \exists \ \epsilon_0 \ tq \ B_{\epsilon_0}(0) \subset I_2\), tomemos assim \(n_0 \in \mathbb{N} \ tq \ \frac{1}{n_0} < \epsilon_0 \Rightarrow \ \forall \ n \geqslant n_0 \quad \frac{1}{n} \in B_{\epsilon_0}(0)\subset I_2 \Rightarrow x_n = (m_0, \frac{1}{n}) \in I_1\times I_2=\pi^{-1}[V]\).
Agora note que \(x_n\) é o representante da seguinte classe \([\{y: y = x_n\}]\), pois sua segunda coordenada nunca se anula, assim \(\pi^{-1}(x_n) = x_n\).
Concluímos então que para todo \(n \geqslant n_0\), \(\pi^{-1}(x_n) \in \pi^{-1}[V] \Rightarrow x_n \in V\), logo \(x_n \to x\).