É zero-dimensional ?
- Para cada ponto não central é fácil de visualizar que existe uma base que o gera, pois sendo cada ponto um ponto isolado, temos também que cada ponto é um aberto fechado, uma base para um ponto seria ele mesmo.
- Vamos analisar agora um ponto do centro:
- Unindo todos os pontos não centrais temos um aberto $A$, unindo esses conjuntos $A$ temos o conjunto de todos os pontos não centrais $B$, pois é uma união de abertos, assim tomamos $B^c$, que será um conjunto fechado, que é o conjunto do ponto central, ainda mais, $B^c$ será um aberto, pois é um aberto.
- Dessa forma é possível gerar uma base de abertos fechados, sendo assim zero-dimensional. $\square$