Se um espaço topológico é zero-dimensional, ele é completamente regular, como pode ser visto em LINKAR. Vamos mostrar que o conjunto \(S\), munido com a topologia herdada de \(X\), é zero-dimensional, logo completamente regular.

A base de \(S\) formada por conjuntos abertos e fechados de \(S\) é a seguinte: \(\mathcal{B}'=\{\{(x,y)\}: (x,y)\in S \text{, e } y>0\} \bigcup \{A_x\setminus F : x\in \mathbb{R} \text{, e } F \text{ é finito e não contém } (x,0)\}\). Claramente, \(\mathcal{B}'\) está contida na topologia de \(S\).

Para provar as duas afirmações seguintes, basta realizar algumas operações com conjuntos e notar que \(S=\underset{x\in\mathbb{R}}{\bigcup}A_x\), e \(S\setminus \{x\}=\underset{z\neq x}{\bigcup}A_z\). Você pode fazer desenhos para compreender melhor a ideia.

Primeiramente, vamos mostrar que os singletos \(\{(x,y)\}\), com \((x,y)\in S\), \(y>0\), são fechados em \(S\). De fato, \(S\setminus \{(x,y)\}=\underset{z\in \mathbb{R}}{\bigcup} A_z\setminus {(x,y)}\), o que é uma união de abertos de \(S\).

Agora, vamos mostrar que se \(F\) é finito e não contém \((x,0)\), então \(A_x\setminus F\) é fechado. Com efeito, basta notar que \(S\setminus (A_x\setminus F)= \underset{z\neq x}{\bigcup} A_z \setminus (A_x\setminus F)\). Note que os termos \(A_z \setminus (A_x\setminus F)\) são da forma (2), logo são abertos em \(S\). Disso resulta que \(A_x\setminus F\) é fechado em \(S\).

Note que \(X\setminus \{(x,y)\}\) e \(X\setminus (A_x\setminus F)\) podem ser escritos de formas semelhantes adicionando-se um termo da forma \(\{p\}\bigcup U_n\) à união, escolhendo-se \(n\in \mathbb{N}\) grande suficiente. Isso mostra que os elementos de \(\mathcal{B}'\) são abertos e fechados em \(X\).

Já mostramos que os elementos de \(\mathcal{B}'\) são abertos e fechados em \(S\). Resta mostrar que é uma base. Seja \(A\) aberto de \(S\). Temos que \(A=B\bigcap S\), onde \(B\) é um aberto de \(X\). Como \(S=\underset{x\in\mathbb{R}}{\bigcup}A_x\) também é aberto em \(X\), temos que \(A\) é um aberto de \(X\). Seja \((x,y)\in A\).

Se \(y>0\), \(\{(x,y)\}\in \mathcal{B}'\) e \((x,y)\in \{(x,y)\}\subset A\). Se \(y=0\), já mostramos que os abertos da forma \(A_x\setminus F\), onde \(F\) é finito e \((x,0)\notin F\) formam uma base local para \((x,0)\) na topologia de \(X\). Como \(A\) é aberto de \(X\) e \((x,0)\in A\), existe um conjunto desse tipo que faz o sanduíche \((x,0)\in A_x\setminus F \subset A\). Isso mostra que \(\mathcal{B}'\) é base de \(S\).