Demonstração: Dado $\varepsilon>0$, para cada $p\in X$ existe $\delta_p>0$ tal que $d(x,p)\le \delta_p\Rightarrow d'(f(x),f(p))\le \frac{varepsilon}{2}$. Como $\{B_{\delta_p/2}(p):p\in X\}$ é cobertura aberta de $X$ e $(X,d)$ é compacto, então existem $n\in \mathbb{N}$ e $p_1,\dots,p_n\in X$ tais que $$X=\bigcup_{i=1}^n B_{\frac{\delta_i}{2}}(p_i)$$ onde $\delta_i:=\delta_{p_i}$. Se escolhermos $\delta=\frac{1}{2}\min_{1\le i\le n}$ \delta_i, dados $x,y\in X$ com $d(x,y)\le \delta$, temos $x\in B_{\delta_i/2}(p_i)$ para algum $1\le i\le n$, donde $$d(y,p_i)\le d(x,p_i)+d(x,y)<\frac{\delta_i}{2}+\delta \le \frac{\delta_i}{2}+\frac{\delta_i}{2}=\delta_i$$ e logo $$d'(f(x),f(y))\le d'(f(x),f(p))+d'(f(y),f(p))\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\ _{\blacksquare}$$

Demonstração: Dados $\varepsilon>$ e $f\in C([0,1],\mathbb{R})$, sabemos que $f$ é uniformemente contínua pois $[0,1]$ é compacto na topologia usual. Dessa forma, existe $n\in \mathbb{N}$ com $$|x-y|\le \frac{1}{n}\Rightarrow |f(x)-f(y)|\le \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $x,y\in [0,1]$. Defina $g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$g\left(\frac{k}{n}\right)=f\left(\frac{k}{n}\right),\ k=0,1,\dots,n$$ e $g$ linear no intervalo $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$ para todo $1\le k\le n$. Além disso, fixado $k\in \{1,\dots,n\}$, como $\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}=\frac{1}{n}$, temos $M-m\le \frac{\varepsilon}{2}$ onde $m:=\inf_{x\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]} f(x)$ e $M:=\sup_{x\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]} f(x)$. Assim, dado $x\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$, temos $|f(x)-g(x)|\le \frac{\varepsilon}{2}$ pois $f(x),g(x)\in [m,M]$.

Por fim, defina $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ de forma que $h\left(\frac{k}{n}\right)\in \mathbb{Q},\ k=0,1,\dots,n$, e tal que $h$ é linear em cada intervalo $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$ e $\max \left\{\left \vert g\left(\frac{k-1}{n}\right)-h\left(\frac{k-1}{n}\right)\right \vert,\left \vert g\left(\frac{k}{n}\right)-h\left(\frac{k}{n}\right)\right \vert \right\}\le \frac{\varepsilon}{2}$ para cada $k=1,\dots,n$. Note que $$|g(x)-h(x)|\le \frac{\varepsilon}{2}\ \forall x\in \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]\ \forall k\in \{1,\dots,n\}$$ Portanto $h\in C([0,1],\mathbb{R})$ e $$|f(x)-h(x)|\le |f(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)|\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\ \forall x\in [0,1]$$ e então $|f-h|\le \varepsilon$.

Concluimos, então, que o conjunto das funções $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tais que para algum $n\in \mathbb{N}$, $h\left(\frac{k}{n}\right)\in \mathbb{Q},\ k=0,1,\dots,n$ e $f$ é linear em $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right],\ k=1,\dots,n$ é um subconjunto denso de $C([0,1],\mathbb{R})$. Além disso, tal conjunto é enumerável, pois $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$ o são, e união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Portanto $C([0,1],\mathbb{R})$ é separável. $_{\blacksquare}$

Todo espaço métrico separável admite base enumerável, veja o tópico Espaço métrico separável.