Demonstração: Suponha $C([0,1],\mathbb{R})$ localmente compacto e considere $B_1(0)=\{f\in C([0,1],\mathbb{R}):|f|<1\}$; pela compacidade local, existe vizinhança compacta da função nula $K\subset B_1(0)$. Também, existe $r>0$ com $B_{2r}(0)\subset K$. Para cada $n\in \mathbb{N}$, defina $$f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$$ $$x\mapsto rx^n$$ Para cada $n\in \mathbb{N}$, $|f_n|=r$ e temos $f_n\in B_{2r}(0)\subset K$; além disso $$\lim_{n\to \infty} f_n(x)=\begin{cases} 0,\ x\in [0,1)\\ r,\ x=1\end{cases}$$ portanto $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge pontualmente para $g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$g(x)=\begin{cases} 0,\ x\in [0,1)\\ r,\ x=1\end{cases}$$ No entanto, se essa sequência admitisse subsequência $(f_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ convergente para $f\in K$, teríamos $$\lim_{k\to \infty} \sup_{x\in [0,1]} |f_{n_k}(x)-f(x)|=0\Rightarrow \lim_{k\to \infty} |f_{n_k}(x)-f(x)|=0\ \forall x\in [0,1]\Rightarrow \lim_{k\to \infty} f_{n_k}(x)=f(x)\ \forall x\in [0,1]$$ e pela unicidade do limite em espaços métricos temos $f(x)=g(x)$ para todo $x\in [0,1]$, absurdo, pois $g$ não é contínua. Logo $K$ não é sequencialmente compacto, donde não é compacto, pois é espaço métrico (veja Sequencialmente Compactos), absurdo. $_{\blacksquare}$

Isso segue de $C([0,1],\mathbb{R})$ ser Hausdorff e não localmente compacto (veja Hausdorff e compacto $\Rightarrow$ localmente compacto).