Demonstração: Dadas $f,g\in C([0,1],\mathbb{R})$, defina: $$\alpha:[0,1]\rightarrow C([0,1],\mathbb{R})$$ $$t\mapsto f+t\cdot (g-f)$$ Note que $\alpha(0)=f$ e $\alpha(1)=g$. Além disso, $\alpha$ é contínua, pois dados $p\in [0,1]$ e $\varepsilon>0$:

Se $f=g$, então $\alpha$ é constante e portanto contínua.
Se $f\neq g$, defina $\delta=\frac{\varepsilon}{|f-g|}$; se $|t-p|<\delta$, temos $|\alpha(t)-\alpha(p)|=|\left(f+t\cdot(g-f)\right)-\left(f+p\cdot(g-f)\right)|=|t-p|\cdot |g-f|<\varepsilon$. $_{\blacksquare}$