Demonstração: Considere uma sequência de Cauchy $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de elementos de $C([0,1],\mathbb{R})$. Dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>m\ge n_0$: $$|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n-f_m|\le \varepsilon\ \forall x\in [0,1]$$ logo $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ é de Cauchy para cada $x\in [0,1]$ e portanto convergente. Assim, existe $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n\to \infty} f_n(x)=f(x)\ \forall x\in [0,1]$$ Além disso, dado $\varepsilon>0$, como $(f_n)$ é de Cauchy, existe $n_1\in \mathbb{N}$ com $$|f_n-f_{n_1}|\le \varepsilon/3\ \forall n\ge n_1$$ donde $$|f_n-f|\le |f_n-f_{n_1}|+|f-f_{n_1}|\le \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$$ pois $|f-f_{n_1}|=\lim_{k\to \infty} |f_k-f_{n_1}|\le \varepsilon/2$. Então $$\lim_{n\to \infty} |f_n-f|=0$$ Verificaremos que $f$ é contínua; com efeito, dados $p\in [0,1]$ e $\varepsilon>0$, existe $n_2\in \mathbb{N}$ tal que $$|f_{n_2}-f|\le \frac{\varepsilon}{3}$$ e já que $f_{n_2}$ é contínua, existe $\delta>0$ tal que $$|x-p|\le \delta \Rightarrow |f_{n_2}(x)-f_{n_2}(p)|\le \frac{\varepsilon}{3}$$ portanto, se $|x-p|\le \delta$: $$|f(x)-f(p)|\le |f_{n_2}(x)-f(x)|+|f_{n_2}(x)-f_{n_2}(p)|+|f_{n_2}(p)-f(p)|\le \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$$ como queríamos. $_{\blacksquare}$