Demonstração 1. Todo espaço Hausdorff, separável, e com bases localmente enumeráveis tem cardinalidade menor ou igual à $2^{\aleph_{0}}$, mas $\beta\mathbb{N}$ tem cardinalidade $2^\mathfrak{c}$.

Demonstração 2. Sabemos que todo espaço $X$ com bases localmente enumeráveis é tal que uma função $f\colon X\to Y$ é contínua se e somente se $f$ é sequencialmente contínua. No entanto, toda sequência não-trivial em $\beta\mathbb{N}$ não é convergente (Corolário 7.3.8 das notas), e portanto e.g. o mapa $f\colon\beta\mathbb{N}\to(\beta\mathbb{N})_{\mathrm{disc}}$ dado pela função identidade é um contraexemplo para essa propriedade (já que $f$ é sequencialmente contínua mas não é contínua), nos dando uma contradição caso assumíssemos que $\beta\mathbb{N}$ possui bases locais enumeráveis.