Sejam $x \in \mathbb{R}_{S}$ e $F \subset \mathbb{R}_{S}$ fechado tal que $x \notin F$. Primeiro note que como $F$ é fechado, então existe $\epsilon > 0$ tal que $[x,x+\epsilon[ \cap F = \emptyset$. Seja $A = [x,x+\epsilon[$ e $B = \mathbb{R}_{S} \setminus A$. Note que assim $A$ é aberto, $x \in A$ e $A \cap B = \emptyset$. Vamos mostrar que $F \subset B$ e $B$ é aberto. De fato, como $A \cap F = \emptyset$, então $F \subset B$ por construção. Temos que $B$ é aberto, pois dado $y \in B$, se $y < x$, então $[y, x[ \subset B$ e se $x < y$, como $y \notin A$, então $y \geq x+\epsilon$ e portanto $[y,y+1[ \subset B$ e por conseguinte $B$ é aberto. Daí temos que $\mathbb{R}_{S}$ é $T_{3}$ e como também é $T_{1}$, $\mathbb{R}_{S}$ é regular.