Seja $\mathcal{A}$ uma cobertura aberta para $\mathbb{R}_{S}$. Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere o conjunto:

\begin{equation} \mathcal{B}_{a} = \{x \in \mathbb{R} : x \geq a \text{ e } [a,x] \text{ é coberto por enumeráveis elementos de } \mathcal{A}\} \end{equation}

Vamos mostrar que sup $\mathcal{B}_{a} = \infty$. Note que $a \in \mathcal{B}_{a}$. Suponha que $a \leq$ sup $\mathcal{B}_{a} = b$. Observe que como existe $A \in \mathcal{A}$ tal que $a \in A$ e $A$ aberto, então existe $\epsilon > 0$ tal que $[a, a + \epsilon[ \in A$ e portanto $b > a$. Defina a sequência $b_{n} = b - \frac{b - a}{n}$, $n \in \mathbb{N}_{>0}$. É claro que $b_{n} \to b$ e como, por hipótese, $b = $ sup $\mathcal{B}_{a}$, temos que, para todo $n \in \mathbb{N}_{>0}$, existe $\mathcal{S}_{n} \subset \mathcal{A}$ subcobertura enumerável para $[a, b_{n}]$. Como $\mathcal{A}$ cobre $\mathbb{R}_{S}$, então existe $B \in \mathcal{A}$ tal que $b \in B$ e como $B$ é aberto em $\mathbb{R}_{S}$, existe $\epsilon > 0$ tal que $[b, b + \epsilon[ \subset B$. Logo $[a, b + \epsilon[ \subset B \cup (\bigcup_{n \in \mathbb{N}_{>0}} \mathcal{S}_{n})$ que é enumerável e daí $b + \frac{\epsilon}{2} \in \mathcal{B}_{a}$, contradição.

Com isso mostramos que todo intervalo $[a,b]$ pode ser coberto por enumeráveis elementos de $\mathcal{A}$. Como $\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}[-n,n]$ temos o resultado.