Antes de tudo, vamos mostrar duas afirmações:

Afirmação 1: Dado $A \subset \mathbb{R}_{S}$ aberto denso, então existe $B \subset A$ aberto denso em $\mathbb{R}$. De fato, podemos escrever $A = \bigcup_{\xi \in \Gamma} [a_{\xi}, b_{\xi}[$. Como em $\mathbb{R}$ os conjuntos $]a_{\xi}, b_{\xi}[$, $\xi \in \Gamma$ são abertos, então $B = \bigcup_{\xi \in \Gamma} ]a_{\xi}, b_{\xi}[$ é aberto em $\mathbb{R}$ e $B \subset A$. Agora, dado $]a,b[ \subset \mathbb{R}$, $a < b$, note que $]a,b[$ é aberto em $\mathbb{R}_{S}$ e, portanto, da densidade de $A$ em $\mathbb{R}_{S}$, $A \cap ]a,b[ \neq \emptyset$. Seja $\eta \in \Gamma$ tal que $[a_{\eta}, b_{\eta}[ \cap ]a,b[ \neq \emptyset$. Note que existe $x \in [a_{\eta}, b_{\eta}[ \cap ]a,b[$ tal que $x \neq a_{\eta}$ e daí $]a_{\eta}, b_{\eta}[ \cap ]a,b[ \neq \emptyset$, pois, caso contrário, $[a_{\eta}, b_{\eta}[ \cap ]a,b[ = \{a_{\eta}\}$ e portanto essa interseção não seria aberto em $\mathbb{R}_{S}$, o que é um absurdo.

Afirmação 2: Se $B$ é denso em $\mathbb{R}$, então $B$ é denso em $\mathbb{R}_{S}$. De fato, dado um aberto básico $[a,b[ \subset \mathbb{R}_{S}$, $a < b$, então $]a,b[$ é aberto em $\mathbb{R}$. Como $B$ é denso em $\mathbb{R}$, então $B \cap ]a,b[ \neq \emptyset$ e claramente $B \cap [a,b[ \neq \emptyset$.

Seja $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos em $\mathbb{R}_{S}$. Então podemos definir $(B_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ família de abertos densos em $\mathbb{R}$ tal que, para todo $n \in \mathbb{N}$, $B_{n} \subset A_{n}$. Como $\mathbb{R}$ é espaço de Baire, pois é espaço métrico completo, então $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$ é denso em $\mathbb{R}$ e portanto denso em $\mathbb{R}_{S}$. Como $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \subset \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$, então $\mathbb{R}_{S}$ é espaço de Baire.