Queremos mostrar que na topologia $X$ existe bases locais enumeráveis, para provar isso mostraremos que a topologia $X$ possui base enumerável.

Portanto, tomamos $\mathfrak{A}$ uma base enumerável de $\mathbb{R}$, onde vamos tomar $B_{n} ⊂ A_{n}$ definido da forma, para qualquer $n \in \mathbb{N}$, definimos $B_{n}$= {$\frac{1}{j}: j ≠ n \in \mathbb{N}$}.

Definimos o seguinte conjunto formato $\mathfrak{B}$ = {$ A-B_{n}: A ⊂\mathfrak{A}, n \in \mathbb{N}$}, é uma base da topologia $X$, pois se tomarmos $(A - B_{1}) ∪ (A - B_{2}) ∪\ldots∪ (A - B_{n}) = A - ∪^{\infty}_{i=1} B_{i}$ é importante destacar que para cada $B_{n}$ temos

$$\dfrac{1}{n} \notin B_{n}$$

,mas

$$\dfrac{1}{n} \in B_{n+1}$$

sabemos que a única diferença de $B_{n}$ de $A_{n}$ é o n-ésimo elemento, ao unirmos infinitamente os $B'_{n}$s, temos o próprio conjunto $A_{n}$, ou seja, $∪^{\infty}_{i=1} B_{i} = A_{n}$.

Portanto, por definição o conjunto $\mathfrak{B}$ é uma base de X, e, é enumerável, pois $\mathfrak{A}$ e $\mathbb{N}$ são enumeráveis, por consequência, $\mathfrak{B}$ é uma base enumerável da topologia $X$.