Para mostrar que a topologia $X$, não satisfaz $T_{3}$, vamos usar um contraexemplo.

É verdade que $x=0 \in \mathbb{R}$, portanto $∃ M$ um aberto na topologia $X$ que contêm 0, sabemos que $A_{n}$ é um conjunto fechado na topologia X, para verificar o fato, tomamos o intervalo fechado $[0,1]$ onde $A_{n} ⊂ [0,1]$ se fizermos

$$[0,1] \ A_{n} = ∪^{\infty}_{i=0} ]a_{i},b_{i}[ = [0,a_{0} ∪ \ldots ∪ b_{\infty},1]$$

onde $a_{i} < b_{i} \in \mathbb{R}$.

Em outras palavras, será o intervalo $[0,1]$ com infinitos enumeráveis o que é claramente um conjunto aberto.

Tomamos D um conjunto de forma que $A_{n} ⊂ D$ e $0 \notin D$ aberto, o que é válido, pois $M$ é abeto na topologia $X$ e possui 0, então existe um intervalo entre o zero, ou seja, existe um intervalo $]0-\gamma,0+\gamma[ ⊂ M$ com $\gamma$ o menor elemento possível. Notamos, que entre dois abertos sempre exite um $m>n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que todo $\frac{1}{m} \in ]0-\gamma,0+\gamma[$, ou seja, existe um subconjunto $P_{n} ⊂ A_{n}$ tal que $P_{n} ⊂ M$. Portanto, a topologia $X$ não pode satisfazer $T_{3}$. Como queríamos mostrar.