Tome $(0, 0) \in \overline{S}$ com $y \neq 0$. Note que $\exists D \subset B_\epsilon ((0, 0))$ com $D = \{(x, sin(\frac{1}{x})): x \in (0, 1]\}$ e $\epsilon > 0$. Além disso, note que $D \subset B_\epsilon((0, 0))$ é uma componente conexa de $(0, 0)$ em $B_\epsilon((0, 0))$, assim, $B_\epsilon((0, 0))$ não é conexo. Logo, $\overline{S}$ não é localmente conexo.