Note que qualquer vizinhança $V$ do ponto $(0, 0)$ é tal que $B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} \subset V$ para algum $\epsilon > 0$. Note que $(0, \frac{\epsilon}{2}) \cap B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} \neq \emptyset$. Além disso, $x_n \in (0, \frac{\epsilon}{2}) \cap B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} $ não admite ponto de acumulação em $V$, logo, $V$ não é compacto e então $\bar{S}$ não é localmente compacto.