Suponha que não, ou seja, suponha que $\exists$ $A, B \subset \bar{S}$ abertos não-vazios tais que $A \cap B = \emptyset $ e que $A \cup B = \bar{S}$. Agora, note que se $(x, sin(\frac{1}{x})) \in B $ para algum $x > 0$, $\{(x, sin(\frac{1}{x})) : x > 0\} \subset B$ e $(0, 0) \in A$. Com isso, qualquer vizinhança de $(0, 0)$ contém um ponto $( \frac{1}{n \pi}, sin(n \pi))$ para algum $n \in \mathbb {N}$ e então $A \cap B \neq \emptyset$.