Sequência Excluída de Smirnov

Definição$^{(1)}$: Seja $X$ o conjunto de números reais e seja $A_{n}$ = {$\frac{1}{n} : n=1,2,3,\ldots, n \in \mathbb{N}$}. Definimos uma topologia $\tau$ em X, onde $ 0 \in \tau$ se $0 = U-B$, onde $B ⊂ A$ e $U$ é um conjunto aberto na topologia euclidiana em $\mathbb{R}$. A topologia $\tau$ é chamada de topologia Smirnov em X.

Axiomas de Separação

1. $T_{0}$: Demonstração;
2. $T_{1}$: Demonstração;
3. $T_{2}$ (Hausdorff): Demonstração;
4. Não é $T_{3}$ (não é regular): Demonstração;
5. Não é $T_{3_{\frac{1}{2}}}$ (não é completamente regular): Demonstração;
6. Não é $T_{4}$ (por consequência não é normal): Demonstração.

Axiomas de Enumerabilidade

1. Existe bases locais enumeráveis: Demonstração;
2. Existe bases enumeráveis: Demonstração;
3. Separável: Demonstração.

Outras propriedades

1. Não é metrizável: Demonstração;

(1) Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, pg.86, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995.