Para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{[x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}] \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$. De fato, seja $A \subset \mathbb{R}$ aberto tal que $x \in A$, então existe $\epsilon > 0 $ tal que $(x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A$, logo pela propriedade arquimediana existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon \Rightarrow [x - \frac{1}{n_0}, x + \frac{1}{n_0}] \subset A$. Assim, $\mathbb{R}$ é $T_3$. Como também é $T_1$, segue que é um espaço regular.