Um espaço regular mas não completamente regular
Se um espaço topológico é completamente regular (\(T_{3\frac{1}{2}}\) e \(T_1\)), então ele também é regular (\(T_3\) e \(T_1\)) (veja Todo espaço completamente regular é regular.). A recíproca não vale, e aqui vamos construir um exemplo de um espaço regular, mas não completamente regular. Esse exemplo foi retirado de [1].
Definições
Sejam \(S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}\), e \(p\in \mathbb{R}^2 \setminus S\). O conjunto a ser utilizado na construção será \(X=S\bigcup \{p\}\).
Para cada \(x\in \mathbb{R}\), \(n\in \mathbb{N}\), considere os conjuntos:
\(D_x=\{(t,t-x)\in S: x\le t \le x+2\}\)
\(V_x=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x,y)\in S\}\)
\(A_x=D_x\bigcup V_x\)
\(U_n=\{(x,y)\in S: x\ge n\}\)
\(I_n=[n,n+1] \times \{0\}\)
Considere sobre \(X\) a topologia \(\tau\) gerada pelos conjuntos da forma:
- \(\{(x,y)\}\), onde \((x,y)\in S\) e \(y>0\);
- \(A_x\setminus F\), onde \(F\) é um conjunto finito;
- \(\{p\} \bigcup U_n\).
É fácil ver que a coleção acima é uma base para a topologia \(\tau\) — basta verificar que essa coleção satisfaz as hipóteses do exercício 1.1.83 (LINKAR). Vamos chamar essa coleção de \(\mathcal{B}\).
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Bases e axiomas de enumerabilidade
Axiomas de separação
- Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)
- Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet)
- Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff)
Propriedades de cobertura
- Não é compacto (ver Todo compacto de Hausdorff é normal).
- Não é localmente compacto (ver Compacidade local, onde se mostra que localmente compacto e Hausdorff implicam completamente regular).
- Não é de Lindelöf (ver referência [2], teorema 2.1.56, onde se mostra que Lindelöf e regular implicam normal).
- Não é paracompacto (ver Paracompactos, onde se mostra que todo paracompacto de Hausdorff é normal).
Propriedades de conexidade
- Não é conexo por caminhos porque não é conexo.
Outras propriedades
- Não é contrátil (pois contrátil implica conexo por caminhos).
- Não é metrizável porque não é $T_4$ (ver Todo espaço métrico é normal).
- Não é completamente metrizável porque não é $T_4$.
Artigo original
[1] A. MYSIOR. A regular space which is not completely regular. Proceedings of the American Mathematical Society; Volume 81, Number 4, April 1981.
[2] Leonardo Henrique Caldeira Pires Ferrari, Aspectos da Topologia e da Teoria dos Pontos Fixos. Dissertação de mestrado; Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Junho de 2017.