Suponha que $\mathbb{Q}_{S}$ seja localmente compacto. Então, dado $x \in \mathbb{Q}_{S}$, existe sistema fundamental de vizinhanças compactas. Seja $V$ uma tal vizinhança compacta para $x$ e seja $A \in \tau_{Q}$ tal que $x \in A \subset V$. Deve então existir $\epsilon > 0$ satisfazendo $\mathbb{Q}_{S} \cap [x, x+\epsilon[ \subset A \subset V$. Como $[x, x+\epsilon[ \subset \mathbb{R}$ é fechado em $\mathbb{R}_{S}$, então $\mathbb{Q}\cap [x, x+\epsilon[$ é fechado em $\mathbb{Q}_{S}$ e, sendo $V$ compacto, temos que $\mathbb{Q} \cap [x, x+\epsilon[$ é compacto, o que é um absurdo, pois $\{\mathbb{Q} \cap [x, x + \epsilon \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ é cobertura aberta sem subcobertura finita.