$\mathbb{Q}_{S}$ é Frechét-Urysohn
De fato, dados $A \subset \mathbb{Q}_{S}$ e $x \in \overline{A}$, como $\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{1}$, existe $\mathcal{B}_{x} = \{B_{n} : n \in \mathbb{N}\}$ base local enumerável para $x$. Sem perda de generalidade, podemos supor que $B_{n+1} \subset B_{n}$. Agora, para cada $n \in \mathbb{N}$, tome $x_{n} \in A \cap B_{n}$. Note que dessa forma temos que $x_{n} \to x$.