Suponha que seja. Então, como $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é de Hausdorff e todo espaço compacto de Hausdorff é normal, obtemos que $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é normal, o que é um absurdo.

Alternativamente, note que a cobertura aberta $\mathcal{C} = \left\{ [a,a+1[ \times [b,b+1[ \;: a,b \in \mathbb{Z}\right\}$ do quadrado da reta de Sorgenfrey não possui subcobertura finita.