Definição: Considere $P=\{(x,y): x, y \in \mathbb{R}, y \geq 0\}$ com a topologia de forma que:

(a) Se $(x,y)$ é tal que $y>0$, então uma vizinhança básica de $(x,y)$ é da forma de uma bola aberta

centrada em $(x,y)$ que não intercepta o eixo $x$, isto é, $B_{\varepsilon}((x,y))$ com $0< \varepsilon<y$ é a bola com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$.

(b) Para os pontos da forma $(x,0)$, uma vizinhança de tal ponto é da forma de uma bola aberta contida em $\{(a,b):b>0\}$ e que

tangencie o eixo $x$ no ponto $(x,0)$ (inclua o ponto em tal vizinhança). Ou seja, $B_y((x,y)) \cup \{(x,0)\}$ onde $B_y((x,y))$ é com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$.

• Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)
• Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet)
• Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff)
• Satisfaz $T_{3}$ e é regular.
• Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular. (Tychonoff)
• Não satisfaz $T_{4}$ e é não normal. Demonstração pela definição
• Não satisfaz $T_{4}$ e é não normal. Demonstração por Tietze

• Admite base local enumerável.
• Não admite base enumerável.
• É separável.

• Não é compacto.
• Não é localmente compacto.
• Não é paracompacto.
• Não é de Lindelöf.

• É conexo.
• É localmente conexo.
• É conexo por caminhos.
• É localmente conexo por caminhos.

• Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo.
• A topologia induzida.
• Não é metrizável.
• Não é completamente metrizável.
• É espaço contrátil.
• É espaço de Baire.
• É zero-dimensional.