Como $P$ é $T_1$ basta mostrarmos que $P$ satisfaz $T_4$, sejam $F,G \subset P \subset \mathbb{R}^2$ fechados, sabemos existem fechados $F',G' \subset \mathbb{R}^2$ tal que $F = F' \cap P$ e $G = G' \cap P$, como $\mathbb{R}^2$ é normal, pois é métrico, temos que existem abertos disjuntos $V,U$, tais que $F \subset V$ e $G \subset U$, note que $V \cap P$ e $U \cap P$, são abertos disjuntos em $P$, pois estamos trabalhando com a topologia de subespaço, além disso temos que $F \subset (V \cap P)$ e $G \subset (U\cap P)$, logo separamos conjuntos fechados por abertos, logo provamos que $(P, \tau)$ é $T_4$, portanto ele é normal