Seja $p \in P \Rightarrow p \in \mathbb{R}^2$, como $\mathbb{R}^2$ possui base local enumerável, existe $\{B_{\frac{1}{n}}(p): n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ base local para $p$, como estamos trabalhando com a topologia de subespaço, temos que o conjunto $\{B_{\frac{1}{n}}(p) \cap P: n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ é uma base local para $p$ em $(P, \tau)$, logo o o espaço pente admite base local enumerável.