$\omega_1$

Princípio da ótima ordem

Todo conjunto $X$ admite uma boa ordem $\preceq$ tal que, para todo $x\in X$,

$$|\{y\in X: y\prec x\}|<|X|$$

Chamamos uma tal ordem de ótima ordem sobre $X$.

• Chamamos de $\aleph_1$ o menor tamanho possível para um conjunto não enumerável.
• Chamamos de $\omega_1$ um conjunto de tamanho $\aleph_1$ munido de uma ótima ordem $\preceq$.

Proposição

$\omega_1$ não possui elemento máximo.

Demonstração. Suponha por absurdo que exista $x\in\omega_1$ elemento máximo, isto é, tal que $\forall y\in\omega_1, y\preceq x$. Então $\omega_1 = \{x\}\cup \{y\in\omega_1: y\prec x\}$. No entanto, $\{y\in\omega_1: y\prec x\}$ é finito ou enumerável, de modo que $\omega_1$ será finito ou enumerável. Absurdo!

• Chamamos de $0$ o elemento $\min \omega_1$ de $\omega_1$. Note que $0$ existe, pois $\preceq$ é uma boa ordem.
• Dado $x\in\omega_1$, denotamos por $x+1$ o elemento $\min\{y\in\omega_1: x\prec y\}$ de $\omega_1$. Note que $x+1$ existe, pois $\preceq$ é uma boa ordem e $\omega_1$ não possui elemento máximo. Indutivamente, denotamos por $x+(n+1)$ o elemento $(x+n)+1$ de $\omega_1$, $n\in\mathbb{N}$. Por simplicidade, denotamos $0+n$ por $n$, $n\in\mathbb{N}$.
• Dado $x\in\omega_1$, dizemos que $x$ é um ordinal limite se $x\neq 0$ e não existe $y\in\omega_1$ tal que $x = y+1$. Note que ordinais limites existem, pois, caso contrário, poderiamos provar (exercício para o leitor) por indução que todo elemento de $\omega_1$ pertence ao conjunto $\{0, 1, 2, \dots\}$, que é enumerável, o que é um absurdo!