O plano de Niemytski não é localmente compacto.

Vamos supor que $P$ seja localmente compacto . Dessa forma, $P$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compacto.

Considere $\mathcal{V}_x$ um sistema fundamental de vizinhanças compactas de $(x,0) \in P$ e tome uma vizinhança $V \in \mathcal{V}_x$.

Defina $\varepsilon >0$ e seja $B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)$ a bola com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$ Daí, um aberto básico de $(x,0)$ é da forma $A=B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)\cup (x,0)$ tal que $(x,0) \in A \subset V$.

O plano de Niemytski é Hausdorff e logo $V$ é fechado. Temos que $\overline{A} =\overline{B_{\varepsilon}(x,\varepsilon)}$. Então $(x,0) \in \overline{A} \subset V$ e assim, $\overline{A}$ é compacto.

$\overline{A}$ com a topologia de subespaço de $\mathbb{R}^2$ é compacto de Hausdorff, mas com a topologia do subespaço de $P$ tem mais abertos.

Portanto $P$ não é localmente compacto.