O Plano de Niemytski é conexo.

O Plano de Niemytski tem dois subconjuntos $P_1=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}, y > 0\}$ e $P_2=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}, y = 0\}$.

Temos que $P_1$ é conexo como subespaço de $\mathbb{R}^2$ e como a topologia induzida. sobre $P_1$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma, $P_1$ é conexo como subespaço de $P$.

Defina $\varepsilon >0$. Tome $B=\{B_{\varepsilon}(x,\varepsilon) \cup \{(x,0)\}\}$ aberto básico em volta de $(x,0)$. Então $B \cap P_1 \neq \emptyset$. Temos que $\overline {P_1}=P$.

Assim, $P_1 \subset P \subset \overline {P_1}$ e portanto, $P$ é conexo.