O plano de Niemytski é Espaço de Baire.

Antes de apresentar esta demonstração, precisamos de dois resultados.

(1) Dado $A \subset P$ aberto denso, então existe $B \subset A$ aberto denso em $\mathbb{R}^2$

Podemos escrever $A= \cup_{i \in I} B_{\varepsilon}(x_i,y_i)$, para todo $\varepsilon>0$ e $B_{\varepsilon}(x_i,y_i)$ com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Como em $\mathbb{R}^2$ os conjuntos $B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x_i,y_i), i \in I$ são abertos, logo, $B=\cup B_{\frac{\varepsilon}{2}} (x_i,y_i)$ é aberto em $\mathbb{R}^2$ e $B \subset A$. Dado $B_{\frac{\varepsilon}{2}} (x,y) \subset \mathbb{R}^2$ é aberto em $P$. Pela densidade de $A$ em $P$, $A \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y) \neq \emptyset$.

Seja $n \in I$ tal que $B_{\varepsilon}(x_n,y_n) \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y) \neq \emptyset$. Assim, existe $(a,b) \in B_{\varepsilon}(x_n,y_n) \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y)$ tal que $a \neq x_n$. Portanto, $B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x_n,y_n) \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y) \neq \emptyset$.

(2) Se $B$ é denso em $\mathbb{R}^2$, então $B$ é denso em $P$.

Dado um aberto básico $B_{\varepsilon}(x,y)\subset P$, $\varepsilon>0$, com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$ e aberto em $P$, então $B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,\frac{\varepsilon}{2})$ é aberto em $\mathbb{R}^2$. Como $B$ é denso em $\mathbb{R}^2$, então $B \cap B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y) \neq \emptyset$. Daí, $B \cap B_{\varepsilon}(x,y) \neq \emptyset$.

Após esses dois resultados, podemos mostrar que o plano de Niemytski é espaço de Baire.

Considere $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos em $P$. Podemos definir $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de densos em $\mathbb{R}^2$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$, $B_n \subset A_n.$ Sabemos que $\mathbb{R}^2$ com a métrica usual é espaço de Baire, pois é espaço métrico completo. Logo, $\cap B_n$ é denso em $\mathbb{R}^2$ e portanto, denso em $P$. Como $\cap B_n \subset \cap A_n$, então $P$ é espaço de Baire.