Não é compacto
Demonstração. De fato, desde que $\mathbb{R}$ não é compacto então $\mathbb{R}^{[0,1]}$ não é compacto, como $\overline{C_{p}([0,1])}=\mathbb{R}^{[0,1]}$, então $C_{p}([0,1])$ não pode ser compacto. $~~~~~~~~\square$
De modo geral, temos a seguinte proposição:
Proposição
Seja $X$ espaço de Tychonoff, então $C_{p}(X)$ é compacto se e somente se $X=\emptyset.$
Demonstração. $\Longrightarrow$ Se $X\not= \emptyset$, trabalhamos de maneira análoga ao intervalo $[0,1],$ já que $\mathbb{R}^X$ não é compacto.
$\Longleftarrow$ Se $X=\emptyset,$ então $C_p(X)=\emptyset$. $~~~~~~~~~~\square$