Sejam $F, G \subset \mathbb{R}$ fechados na topologia $\tau_{M}$ tais que $F \cap G = \emptyset$. Considere os conjuntos $F_{0} = F \cap \mathbb{Q}$ e $G_{0} = G \cap \mathbb{Q}$. Note que a topologia induzida em $\mathbb{Q}$ por $\mathbb{R}_{M}$ é a mesma induzida pela topologia usual em $\mathbb{R}$. Assim, como $\mathbb{Q}$ é espaço métrico como subespaço de $\mathbb{R}$ (com a métrica usual), temos que $\mathbb{Q}$ é normal. Logo, como $F_{0}$ e $G_{0}$ são fechados em $\mathbb{Q}$, temos que existem $U_{0}, V_{0} \subset \mathbb{Q}$ abertos tais que $U_{0} \cap V_{0} = \emptyset$. Assim, para cada $x \in F_{0}$, existe $\epsilon_{x} > 0$ tal que $]x - \epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[ \cap \mathbb{Q} \subset U_{0}$ e $]x -\epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[ \cap G = \emptyset$. Analogamente, para cada $x \in G_{0}$, existe $\epsilon_{x} > 0$ tal que $]x - \epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[ \cap \mathbb{Q} \subset V_{0}$ e $]x -\epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[ \cap F = \emptyset$. Sejam $U_{1} = \bigcup_{x \in F_{0}} ]x - \epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[$ e $V_{1} = \bigcup_{x \in G_{0}} ]x - \epsilon_{x}, x + \epsilon_{x}[$. Defina $U = U_{1} \cup (F \setminus \mathbb{Q})$ e $V = V_{1} \cup (F \setminus \mathbb{Q})$. Note que $U, V \in \tau_{M}$, $U \cap V = \emptyset$, $F \subset U$ e $G \subset V$, como queríamos.