Sejam $x \in \mathbb{R}$ e $F \subset \mathbb{R}$ fechado da topologia $\tau_{M}$, tais que $x \notin F$. Daí $U = \mathbb{R} \subset F$ é aberto e portanto existem $A \in \tau$ e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tais que $U = A \cup B$. Temos dois casos:

• $x \in B$: basta tomar $f:\mathbb{R}_{M} \to [0,1]$ dada por $f(x) = 0$ e $f(y) = 1$, se $y \neq x$.
• $x \notin B$: nesse caso, $x \in A$ e portanto existe $\epsilon > 0$ tal que $]x - \epsilon, x + \epsilon[ \subset A$. Defina $f : \mathbb{R}_{M} \to [0,1]$ dada por:

\begin{equation} f(y) = \begin{cases} \frac{|x - y|}{\epsilon}\text{,} & y \in ]x - \epsilon, x+\epsilon[\\ 1 \text{,}& \text{caso contrário} \end{cases} \end{equation}

Note que em ambos os casos temos que $f(x) = 0$, $f(F) = \{1\}$ e $f$ é contínua.