Seja $\mathcal{B}$ uma base para a topologia $\tau_{M}$. Dado $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, temos que $\{x\} \in \tau_{M}$ e como $\mathcal{B}$ é base, então existe $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset \{x\}$. Daí $B = \{x\}$ e assim $\{\{x\} : x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\} \subset \mathcal{B}$. Logo $\mathcal{B}$ não pode ser enumerável.