Não é metrizável
Demonstração. Desde que metrizabilidade implica em segundo contável e primeiro contável, $C_{p}([0,1])$ não pode ser metrizável. $~~~~~~~~\square$
De modo geral, temos a seguinte proposição cuja demonstração pode ser encontrada em MAUÉS [1], Teorema 2.35.
Proposição
Seja $X$ espaço topológico regular. Então $C_{p}(X)$ é metrizável se e somente se $X$ é enumerável.