Note que $f(x,y) = \max\{f_1(\pi_x(x,y)),f_2(\pi_y(x,y))\}$, onde $\pi_x(x,y) = x$ e $\pi_y(x,y) = y$ são as funções projeções, que são contínuas. Perceba que, por ser composta de contínuas, as funções $g_1(x,y) := f_1(\pi_x(x,y))$ e $g_2(x,y):=f_2(\pi_y(x,y))$ são contínuas. Além disso, note que

$$f(x,y) = \max\{g_1(x,y),g_2(x,y)\} = \frac{g_1(x,y) + g_2(x,y)}{2} + \frac{|g_1(x,y) - g_2(x,y)|}{2}$$

é contínua pois é dada por somas, subtrações e módulos de funções contínuas.