É Lindelöf
Demonstração. Para verificar esse fato, usaremos o seguinte resultado, cuja demonstração pode ser encontrada no Teorema 2.44 da referência MAUÉS [1].
Proposição
Seja $X$ um espaço metrizável então $C_{p}(X)$ é Lindelöf se, e somente se $X$ é segundo contável.
Desque que $[0,1]$ é metrizável, então $C_{p}([0,1])$ é Lindelöf. $~~~~~~\square$