$H$ não é localmente compacto. Note que as bolas fechadas $\bar{B}_{\epsilon}(x) = \{ y|\,\, d(x,y) \leq \epsilon \}$ não são compactas. Pois os pontos $y_n = \{x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n + \epsilon, x_{n+1}, \ldots \}$ estão em $\bar{B}_{\epsilon}(x)$, mas $d(y_n,y_m) = \sqrt{2\epsilon}$ sempre que $n \neq m$. Logo, $\{y_n\}$ não admite subsequência convergente.

Note que aqui usamos a Proposição 4.3.12 da apostila. “Seja $(X,d)$ métrico tal que toda sequência admite subsequência convergente. Então $X$ é compacto.”