Seja $(e_i)_{i\in\Bbb N}$ e $(v_\alpha)_{\alpha\in X}$ bases ortonormais de $H$ com um conjunto arbitrário de índices $X$.

Primeiro observemos que $\{\alpha\in X:\,\forall i\in\Bbb N\,(e_i\perp v_\alpha)\}=\emptyset$já que $e_i$ é uma base ortonormal.

Então, para cada $i,n\in\Bbb N$, considere $A_{i,n}:=\{\alpha\in X: |\langle e_i,v_\alpha\rangle|\ge \frac1n\}$.

Já que para todo $\alpha_1,\dots,\alpha_k\in X$, temos $$ 1=\|e_i\|^2\ \ge\ \left\|\sum_{j=1}^k\langle e_i,v_{\alpha_j}\rangle\cdot v_{\alpha_j}\right\|^2 \ =\ \sum_{j=1}^k|\langle e_i,v_{\alpha_j}\rangle|^2\,, $$ Então cada $A_{i,n}$ deve ser finito.

Consequentemente, $X\ =\ X\,\setminus\,\{\alpha:\,\forall i\in\Bbb N\,(e_i\perp v_\alpha)\}\ =\ \displaystyle\bigcup_{i,n\in\Bbb N}A_{i,n}$ é contável.

Observação: temos que o espaço também é separável, pois admite base ortonormal enumerável.