Espaço do Ventilador (Não enumerável)
Definição: Considere
$$ X = \{ (r,\frac{1}{n}) : r \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{>0}\}\cup\{ (r,0) : r \in \mathbb{R} \} $$
Com a topologia usual do $\mathbb{R}^2$.
Considere também a seguinte relação de equivalência sobre $X$:
$$x\sim y \text{ sse } x=y \text{ ou } (x=(r,0) \text{ e } y=(l,0)) \text{ para algum }r,l \in \mathbb{R}$$
Vamos chamar de $F$ o espaço $X/\sim$ com a topologia quociente. Tal espaço é denominado Espaço do Ventilador.
Intuição: Vamos chamar $\Delta$ como a coleção de espaços de sequências convergentes disjuntas, que convergem para o ponto mais acima. Conforme o desenho:
Agora vamos quocientar esses espaços, de maneira que os pontos aos quais cada sequência converge, “colapsem e se tornem o mesmo ponto”, assim como na imagem a seguir, o espaço fica no formato de um ventilador, chamemos estes pontos colapsados de “centro do ventilador”.
Propriedades:
Os pontos do ventilador são de dois tipos, o ponto central(pertencem a todas as hélices) e os pontos que pertencem a apenas uma hélice.
Vamos tomar $x,y$ pertencentes a apenas uma hélice(não necessariamente a mesma hélice), assim $x,y$ são pontos do $\mathbb{R}^2$, com isso, sendo $\{x\},\{y\}$ os unitários, vamos aplicar $\Pi^{-1}$ neles(definido em Topologia Quociente), portanto $\Pi^{-1}[\{x\}]$ e $\Pi^{-1}[\{y\}]$, são pontos do $\mathbb{R}^2$ com a topologia usual, portanto eles são abertos, e isso implica que $\{x\},\{y\}$ são abertos disjuntos contendo respectivamente $x$ e $y$, dessa maneira todos os ponto pertencentes as hélices são pontos isolados.
Axiomas de separação