Dado $x \in X$, seja $V$ aberto tal que $x \in V$. Se $x \in X \setminus \{\infty \}$, então $\{x\}$ é claramente aberto e fechado, logo $x \in \{ x \} = \overline{\{ x \}} \subset V $. Se $x = \infty$, então por definição $X \setminus V$ é finito, isto é, $V$ é aberto e fechado, consequentemente $x \in V = \overline{V}$. Portanto, em todo caso, existe $A \subset X$ aberto tal que $x \in A \subset \overline{A} \subset V$. Com isso, mostramos que $(X, \tau)$ é $T_3$, como também é $T_1$, concluímos que $(X, \tau)$ é regular.