Vamos mostrar que $(X, \tau)$ é totalmente desconexo, logo não pode ser conexo. Seja $A \subset X$ um conjunto com no mínimo dois pontos. Como $X = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, então existe algum $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \in A$. Como $\{n\}$ e $X \setminus \{n\}$ são abertos em $X$, então $A \cap \{n\}$ e $A \cap (X \setminus \{n\})$ são abertos em $A$, não vazios e disjuntos, cuja a união é igual ao conjunto $A$, logo $A$ não pode ser conexo.