Definição. A topologia usual de $\mathbb{R}^n$ é a topologia produto de $n$ cópias de $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Ou seja, é a topologia gerada pelos conjuntos da forma $E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n$, onde cada $E_j$ é uma aberto em $\mathbb{R}$, para $j=1,\ldots,n$.

No que segue, veremos que esta topologia é induzida por uma métrica em $\mathbb{R}^n$. Para tanto, consideremos $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to [0, \infty) $ dada por: $$d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))= \max \lbrace |x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\ldots,|x_n-y_n| \rbrace. $$

Então, $d$ é uma métrica cuja topologia induzida é a topologia usual de $\mathbb{R}^n$. Além disso, esta métrica é induzida pela norma $|(x_1,x_2,\ldots,x_n)|= \max \lbrace | x_1|,\ldots,|x_n| \rbrace$. Ou seja, $\mathbb{R}^n$ é um espaço vetorial normado, de dimensão $n$.

• Satisfaz $T_0$. (Kolmogorov)
• Satisfaz $T_1$. (Fréchet)
• Satisfaz $T_2$. (Hausdorff)
• Satisfaz $T_3$ e é regular.
• Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular. (Tychonoff)
• Satisfaz $T_4$ e é normal.

• Possui bases locais enumeráveis.
• Possui base enumerável.
• É separável.

• Não é compacto.
• É localmente compacto.
• Não é sequencialmente compacto.
• Não é totalmente limitado.

• É conexo.
• É localmente conexo.
• É conexo por caminhos.
• É localmente conexo por caminhos.

• É metrizável.
• Caracterização para os compactos em $\mathbb{R}^n$.
• $\mathbb{R}^n$ é um espaço métrico completo.
• $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n \; (n>1)$ não são homeomorfos.
• É contrátil.
• É de Baire.
• Todas as normas sobre $\mathbb{R}^n$ são equivalentes.