De fato, $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ é um homeomorfo a um subespaço de $ \mathbb{R} $. Para vermos isso construímos uma função $ f:\{0,1\}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R} $ continua e injetora. Defina

$$ f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2a_{k}}{3^{k+1}}, $$

então é claro que $ f $ é injetora, provamos sua continuidade.

Fixe $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ e tome $ V \subset \mathbb{R} $ aberto tal que $ f(x) \in V $. Uma vez que $ V $ é aberto, existe $ n $ tal que $ |f(x)-y| < \tfrac{1}{3^{n}} $ implica que $ y \in V $. Seja

$$ W = \bigcup_{k=0}^{n} p_{k}^{-1}[\{x_{k}\}]. $$

Então $ W $ é aberto em $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $. Tome $ a \in W $, então

$$ |f(x)-f(a)| = \bigg| \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2(x_{k}-a_{k})}{3^{k+1}} \bigg| = \bigg| \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{2(x_{k}-a_{k})}{3^{k+1}} \bigg| \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{2}{3^{k+1}} = \frac{2}{3^{n+1}} < \frac{1}{3^{n}}, $$

Portanto $ f[W] \subset V $. Segue que a função $ f $ é continua.

O conjunto $ f[\{0,1\}^{\mathbb{N}}] $ é o conhecido conjunto de Cantor, e é a origem do nome do espaço $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $.