Tome $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $, então dado qualquer aberto $ V $ que contenha $ x $ existem $ n_{1}, \cdots, n_{k} \in \mathbb{N} $ distintos e $ b_{1}, \cdots, b_{k} \in \{0,1\} $ tais que

$$ U = p_{n_{1}}^{-1}[\{b_{1}\}] \cap \cdots \cap p_{n_{k}}^{-1}[\{b_{k}\}] \subset V $$

Como $ U $ claramente contem pelo menos dois pontos, segue que $ V $ também deve conter pelo menos dois pontos. Como vimos aqui, todo conjunto com mais de dois pontos não é conexo, segue que $ V $ não é conexo e que $ x $ não admite uma base local de conexos.

Logo $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ não é localmente conexo.