De fato, todo conjunto com mais de dois elementos é desconexo. Sejam $ C \subset \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ um conjunto com mais de dois elementos. Se $ x,y \in C $ forem distintos, então existe $ n \in \mathbb{N} $ tal que $ p_{n}(y) = y_{n} \neq x_{n} = p_{n}(x) $. Os conjuntos $ A' = p_{n}^{-1}[\{y_{n}\}] $ e $ B' = p_{n}^{-1}[\{x_{n}\}] $ são abertos e disjuntos tais que $ A \cup B = \{0,1\}^{\mathbb{N}} $. Segue que $ A = A' \cap C $ e $ B = B' \cap C $ são abertos como subespaços de $ C $ tais que $ A \cup B = C $ e $ y \in A $, $ x \in B $. Portanto $ C $ não é conexo.

Em particular, $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ contem mais de dois elementos e, portanto, não é conexo.