Intuitivamente, o espaço Hilbert é uma generalização do espaço Euclidiano, estendendo os métodos de álgebra e cálculo vetorial sem precisar se restringir a um número finito de dimensões.

Definição: Um espaço Hilbert $H$ sobre um corpo $K$ é um espaço vetorial completo (espaço de Banach) com a norma induzida pelo produto interno, isto é $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$.

Ou equivalentemente, $H$ é o conjunto de todas as sequências $x = \{x_i\}$, $x_i \in \mathbb{R}$ tal que $\sum x_i^2$ converge, juntamente com a topologia gerada pela métrica $d(x,y) = [\sum(x_i - y_i)^2]^{1/2}$.

• Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)
• Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet)
• Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff)
• Satisfaz $T_{3}$.
• Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$. (Tychonoff)
• Satisfaz $T_{4}$.

• Possui bases locais enumeráveis.
• Possui base enumerável.
• É separável.

• É compacto.
• Não é localmente compacto.
• É de Lindelöf.
• É paracompacto.

• É conexo.
• É localmente conexo.? a

• É metrizável.
• É completamente metrizável. a